Квантовый гармонический осциллятор

Более реалистическая модель возможной ямы — гармонический осциллятор, возможная энергия которого служит параболической функцией координаты (§ 21.6). Модель гармонического осциллятора отлично обрисовывает колебания атомов снутри молекулы либо в кристалле (см. § 10.3, 28.2). Возможная энергия гармонического осциллятора

Рис. 4

как функция координаты x показана на рис.4.

Уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора имеет вид

Опустив массивные математические преобразования, запишем Квантовый гармонический осциллятор сходу конечный итог для энергии гармонического осциллятора

(25)

т.е. и в данном случае энергия наночастицы может принимать только ряд квантованных, дискретных значений.

Малое значение энергии гармонического осциллятора

(26)

отлично от нуля и именуется энергией нулевых колебаний.

Если б малая энергия гармонического осциллятора равнялась нулю, то импульс наночастицы также приравнивался бы нулю. Это Квантовый гармонический осциллятор может быть только в этом случае, когда частичка находится в положении равновесия, т.е. ее координата x=0. Но высказанное предположение (Wo=0) противоречит соотношению неопределенностей Гейзенберга, так как при всем этом допускается возможность одновременного четкого определения координаты (x=0) и импульса наночастицы (p=0), что нереально.

В традиционной физике было показано (см. § 8.2), что среднее Квантовый гармонический осциллятор значение энергии термического движения частички

(27)

Тогда при уменьшении температуры (T→0) среднее значение энергии стремится к нулю, что противоречит квантовомеханическому результату (26). Это противоречие снимается, если представить, что традиционное выражение для энергии термического движения наночастиц поблизости абсолютного нуля нарушается, т.е. при снижении температуры энергия колебательного движения наночастиц (атомов в кристалле) миниатюризируется Квантовый гармонический осциллятор не до нуля (как это было бы в случае справедливости традиционной формулы при T→0), а стремится к некому, хорошему от нуля значению W=ħω/2 ≠ 0. Этот вывод подтверждается тестами по рассеянию света на колебаниях атомов кристалла. При T→0 колебания атомов сохраняются, потому даже поблизости абсолютного нуля интенсивность растерянного Квантовый гармонический осциллятор света имеет ненулевое значение.

Туннельный эффект

Рис. 5

Разглядим одномерный случай рассредотачивания возможной энергии по координате x, схематически изображенный на рис. 30.5 (случай возможной ступени). В области I возможная энергия частички равна нулю и она может свободно передвигаться с некой неизменной скоростью и энергией. В области II возможная энергия частички равна Wp. В Квантовый гармонический осциллятор традиционной механике показано, что если кинетическая энергия частички больше высоты возможной ступени (Wк>Wp), то частичка может переместиться из области I в область II и двигаться далее в том же направлении (но уже с уменьшенной скоростью и энергией). Если же Wк

Разглядим сейчас квантовомеханическую трактовку содействии наночастицы с возможной ступенью, ограничиваясь случаем Wк

Запишем уравнения Шредингера для областей I и II:

область I:

область II:

Обозначив

запишем и решим надлежащие характеристические уравнения:

для области I:

для области II:

Общие решения уравнений Шредингера имеют Квантовый гармонический осциллятор вид:

для области I:

(28)

для области II:

(29)

В уравнении (30.28) 1-ое слагаемое обрисовывает падающую волну, связанную с частичкой, а 2-ое - отраженную волну.

Разглядим сейчас уравнение (29). 1-ое слагаемое в нем не удовлетворяет условию конечности, накладываемому на волновую функцию, потому что при x →∞ и y2 →∞. Чтоб это условие не нарушалось, нужно положить Квантовый гармонический осциллятор А2= 0. Тогда волновая функция (29) воспринимает вид

.

а возможность найтимикрочастицу на некой глубине возможной ступени

(30)

В традиционной физике возможность проникания частички вовнутрь возможной ступени Wк

Рис. 6

Разглядим сейчас одномерный Квантовый гармонический осциллятор случай рассредотачивания возможной энергии, доказанный на рис. 30.6. Участок II, в границах которого величина возможной анергии больше, чем в окружающих его областях I и III, называетсяпотенциальным барьером. Пусть слева к возможному барьеру подлетает наночастица с энергией Wк

(31)

где d — ширина барьера.

Оказавшись на правом краю барьера, частичка становится свободной и может двигаться далее в прежнем направлении с той же скоростью и энергией, которые она имела, подлетая к барьеру.

Явление прохождения наночастицы через возможный барьер в случае, если ее энергия меньше,чем высота барьера Квантовый гармонический осциллятор, носит заглавие туннельного эффекта.

Согласно (30.31) прозрачность барьера D ,т.е. возможность прохождения наночастицы через возможный барьер, определяется выражением

(32)

Выражение (30.32) справедливо для потенциального барьера простейшей прямоугольной формы, а для барьера случайной формы (рис. 7) прозрачность определяется формулой

(33)
Рис. 7

Из формул (32) и (33) видно, что возможность прохождения наночастицы через возможный барьер возрастает по мере уменьшения ширины барьера Квантовый гармонический осциллятор и возрастания энергии частички.

Разглядим примеры неких физических явлений, которые описываются закономерностями туннельного эффекта.

1. Если два проводника разбиты слоем диэлектрика, то ток через таковой контакт протекать не может, но при малой толщине диэлектрической прослойки (d≤10-8м) электроны могут перебегать через слой диэлектрика, создавая туннельный контакт. Более увлекателен тот случай Квантовый гармонический осциллятор, когда оба металла находятся в сверхпроводящем состоянии (см. § 34.2).

2. На границе меж полупроводниками с электрическим и дырочным типами проводимости появляется контактная разность потенциалов, создающая возможный барьер для перехода электронов. При определенных критериях формирования контакта становятся вероятными туннельные переходы электронов через него (туннельный диодик — см. § 33.7).

3. На базе туннельного эффекта сотворен Квантовый гармонический осциллятор электрический микроскоп принципно нового типа. В этом микроскопе тончайшее железное острие приближается к исследуемой поверхности на маленькое расстояние и фиксируется туннельный электронный ток, протекающий через разрядный просвет. При перемещении острия мелкие выпуклости на исследуемой поверхности изменяют ширину потенциального барьера и, как следует, значение силы тока в цепи. Прибор так Квантовый гармонический осциллятор чувствителен, что позволяет фиксировать отдельные атомы.

Лекція 42.

Квантово-механiчна модель атома водню. Дослiд Штерна i Герлаха. Спiн електрона. Принцип Паулi. Перiодична система елементiв.

ФИЗИКА АТОМОВ И МОЛЕКУЛ


kvasha-g.html
kvashennie-plodi-i-ovoshi.html
kvazieksperimentalnie-programmi.html